Question

【题目】已知函数，对任意实数， .

（1）在上是单调递减的，求实数的取值范围；

（2）若对任意恒成立，求正数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）由已知得， ，利用单调性的定义，可知要使h（x）在（0，2]上是单调递减的，必须h（x1）-h（x2）>0恒成立，从而只需1-tx1x2>0恒成立，即恒成立，故可求实数t的取值范围；
（3）解法一：由得，分离参数可得任意恒成立，只需即可；解法二：由，得．构造，则f（x）<0任意恒成立，从而得即可求解.

试题解析：

（1）由已知得: ，

任取，则

＝

要使在上单调递减，须恒成立．

， ，

恒成立，即恒成立，

又 ，

实数的取值范围是.

（2）解法一：由，得

又 ，

又 对任意恒成立

，

当时，函数取得最小值

又，

正数的取值范围是.

解法二：由，得

令，则

对任意恒成立

，即，解得.

正数的取值范围是.