题目内容

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N^）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}满足 $数学公式$ ，T_n=c₁c₂+c₂c₃+c₃c₄+…+c_nc_n+1，若对一切n∈N^不等式4mT_n＞c_n恒成立，求实数m的取值范围．

解：（1）当n=1时，a₁=4（1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1-2ⁿ?a_n=2a_n-1+2ⁿ（2分）
$\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 是首项为2，公差为1的等差数列（3分） $\text{[math]}$ （5分）
（2） $\text{[math]}$ （7分） $\text{[math]}$ （9分）
4mT_n＞c_n对一切n∈N^*恒成立，则 $\text{[math]}$ （11分）
而 $\text{[math]}$ （13分）
$\text{[math]}$ （14分）
分析：（1）利用递推关系 $\text{[math]}$ 可求求数列{a_n}的通项公式．
（2）由（1）可得a_n=（n+1）•2ⁿ，代入可求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，利用裂项求和可得 $\text{[math]}$ ，4mT_n＞c_n对一切n∈N^*恒成立，则 $\text{[math]}$ 的最大值．
点评：本题主要考查了利用递推关系 $\text{[math]}$ 及构造等差数列求数列的通项公式，裂项求数列的和，不等式的恒成立问题的转化求最值，体现了转化思想的应用．

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