Question

1．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，点G是△ABC的重心，若A=$\frac{π}{3}$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=6，|$\overrightarrow{AG}$|=2，则△ABC一定是（　　）

• A． 直角三角形
• B． 等腰直角三角形
• C． 正三角形
• D． 钝角三角形

Answer 1

分析 根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的线性表示与数量积运算，得出边长b=c，即可得出△ABC是正三角形．

解答 解：如图所示，
△ABC中，设D是BC的中点，且$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$；
由条件得$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=bc•cos$\frac{π}{3}$=6，
∴bc=12；
又$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{b}$），且|$\overrightarrow{AG}$|=2，
∴${（\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}）}^{2}$=36，
即c²+b²+2$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{b}$=36，
∴c²+b²-24=0，
∴c²-2bc+b²=0，
即（b-c）²=0，
∴b=c，
∴△ABC是正三角形．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算问题，也考查了数形结合的解题方法，是综合性题目．