Question

13．已知点B（2，0），P是函数y=2^x图象上不同于A（0，1）的一点，有如下结论：
①存在点P使得△ABP是等腰三角形；
②存在点P使得△ABP是锐角三角形；
③存在点P使得△ABP是直角三角形．
其中，正确结论的序号为（　　）

• A． ①②
• B． ②③
• C． ①③
• D． ①②③

Answer 1

分析 利用导数法，可判断出线段AB与函数y=2^x图象在（0，1）点的切线垂直，进而可判断出三个结论的正误，得到答案．

解答 解：∵函数y=2^x的导函数为y′=（ln2）2^x
∴y′|_x=0=ln2，
即线段AB的斜率为$-\frac{1}{2}$，ln2＜2
∴存在点P使得三角形ABP为锐角和直角三角形．
以B（2，0）为圆心，AB为半价作圆，和y=2^x有交点，所以能够构成等腰三角形
所以，选项都对，选D

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了指数函数的导数及三角形形状判断，难度不大，属于基础题