题目内容
【题目】已知椭圆
的左右焦点为
，过
（M不过椭圆的顶点和中心）且斜率为k直线l交椭圆于
两点，与y轴交于点N，且
.
（1）若直线l过点
，求
的周长；
（2）若直线l过点，求线段
的中点R的轨迹方程；
（3）求证：
为定值，并求出此定值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
（1）根据椭圆的定义，即可求解；
（2）设直线l方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理，求出相交弦中点的参数方程，消去参数，即可求出结论；
（3）
表示成坐标关系，将
用
坐标表示，直线l方程与椭圆方程联立，消元整理为一元二次方程结合韦达定理，即可证明
为定值.
（1）解：由题意椭圆
的长轴长
.
的周长为
.
（2）由题意直线
.
由
得
，
由题意
恒成立.设
，
则
，
.
即
（k为参数）.
消去k得点R的轨迹方程为.
（3）由
得
，
所以
，同理
，
由题意直线l的方程为
，代入得
，由题意
.
由韦达定理得
.
综上可知λ为定值.
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【题目】某市《城市总体规划（
年）》提出到
年实现“
分钟社区生活圈”全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身
个方面构建“分钟社区生活圈”指标体系，并依据“分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质小区（指数为
）、良好小区（指数为
）、中等小区（指数为
）以及待改进小区（指数为
）个等级.下面是三个小区个方面指标的调查数据：
注：每个小区“分钟社区生活圈”指数
，其中
、
、
、
为该小区四个方面的权重，
、
、
、
为该小区四个方面的指标值（小区每一个方面的指标值为
之间的一个数值）.
现有
个小区的“分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表：
分组 |
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|
|
|
频数 |
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|
（Ⅰ）分别判断
、
、
三个小区是否是优质小区，并说明理由；
（Ⅱ）对这个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽取
个小区进行调查，若在抽取的个小区中再随机地选取
个小区做深入调查，记这个小区中为优质小区的个数
，求的分布列及数学期望.
