题目内容
【题目】如图，在底面边长为
，侧棱长为
的正四棱柱
中，
是侧棱
上的一点，
.
（1）若
，求异面直线
与
所成角的余弦；
（2）是否存在实数
，使直线与平面
所成角的正弦值是
？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) 
(2)存在，
【解析】
（1）采用建系法进行求解；
（2）假设存在实数
，使得直线
与平面
所成角的正弦值是
，则用向量法表示出
，再求得平面
的法向量为
，结合夹角公式即可求得；
解：（1）建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，
，
.
所以
，
.
，即异面直线与
所成角的余弦是.
（2）假设存在实数，使直线与平面所成的角的正弦值等于，则
，
，.
设平面的法向量为
，
则由
，得
，取
，得平面的法向量为.
由直线与平面所成的角的正弦值等于，得
，解得，因为
，所以满足条件，
所以当时，直线与平面所成的角的正弦值等于.
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