Question

已知向量

a

=(sinθ，cosθ-2sinθ)，

b

=(1，2)．
（1）若

a

∥

b

，求tanθ的值；
（2）若|

a

|=|

b

|，(0＜θ＜π)，求θ的值；
（3）设

c

=(1，1+2sinθ)，若f(θ)=|

a

+

c

|2+sin2θ，求f（θ）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量共线的性质可得 2sinθ=cosθ-2sinθ，由此求得tanθ=

1

4

．
（2）由|

a

|=|

b

|，化简可得-sinθcosθ=cos²θ，故 cosθ=0，或 sinθ=-cosθ，由此求得θ的值．
（3）化简f（θ）=3+2（sinθ+cosθ）+sin2θ，令t=sinθ+cosθ，t∈[-

2

，

2

]，则 f（t）=t²+2t+2，利用二次函数的性质求出f（θ）的值域．

解答：解：（1）∵

a

∥

b

，∴2sinθ=cosθ-2sinθ，∴tanθ=

1

4

．
（2）∵|

a

|=|

b

|，∴sin²θ+（cosθ-2sinθ）²=5，化简可得-sinθcosθ=cos²θ，
∴cosθ=0，或 sinθ=-cosθ．
再由 0＜θ＜π 可得  θ=

π

2

或

3π

4

．
（3）f（θ）=（sinθ+1）²+（cosθ+1）²+sin2θ
=3+2（sinθ+cosθ）+sin2θ，
令t=sinθ+cosθ，t∈[-

2

，

2

]，则有f（t）=t²+2t+2，利用二次函数的性质可得当t=-1时，f（t）有最小值1，当t=

2

时，f（t）有最大值4+2

2

，
故 f(t)∈[1，4+2

2

]，故f（θ）的值域为 [1，4+2

2

]．

点评：本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，二次函数的性质应用，属于中档题．