题目内容
给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f′（x）存在，且导函数f′（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f′（x）=（f′（x））′．若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数．以下四个函数在（0，
）上不是凸函数的是 ．（把你认为正确的序号都填上）①f（x）=sin x+cos x；
②f（x）=ln x-2x；
③f（x）=-x3+2x-1；
④f（x）=xex．
【答案】分析：①由f″（x）=-（sinx+cosx）且x∈（0，
）时，f″（x）＜0恒成立；符合定义
对于②，f″（x）=-
，且在x∈（0，
）时，f″（x）＜0恒成立；符合定义
对于③，f″（x）=-6x，在x∈（0，
）时，f″（x）＜0恒成立；符合定义
对于④，f″（x）=（2+x）•ex在x∈（0，
）时f″（x）＞0恒成立，不符合定义
解答：解：对于①，f″（x）=-（sinx+cosx），x∈（0，
）时，
f″（x）＜0恒成立；
对于②，f″（x）=-
，在x∈（0，
）时，f″（x）＜0恒成立；
对于③，f″（x）=-6x，在x∈（0，
）时，f″（x）＜0恒成立；
对于④，f″（x）=（2+x）•ex在x∈（0，
）时f″（x）＞0恒成立，
所以f（x）=xex不是凸函数．
故答案为：④
点评：本题通过新定义函数来考查已有的知识的运用即恒成立问题．
）时，f″（x）＜0恒成立；符合定义对于②，f″（x）=-
，且在x∈（0，）时，f″（x）＜0恒成立；符合定义对于③，f″（x）=-6x，在x∈（0，
）时，f″（x）＜0恒成立；符合定义对于④，f″（x）=（2+x）•ex在x∈（0，
）时f″（x）＞0恒成立，不符合定义解答：解：对于①，f″（x）=-（sinx+cosx），x∈（0，
）时，f″（x）＜0恒成立；
对于②，f″（x）=-
，在x∈（0，）时，f″（x）＜0恒成立；对于③，f″（x）=-6x，在x∈（0，
）时，f″（x）＜0恒成立；对于④，f″（x）=（2+x）•ex在x∈（0，
）时f″（x）＞0恒成立，所以f（x）=xex不是凸函数．
故答案为：④
点评：本题通过新定义函数来考查已有的知识的运用即恒成立问题．
练习册系列答案
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给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f′（x）存在，且导函数f′（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）=（f′（x））′，若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数．以下四个函数在(0，
)上不是凸函数的是（ ）
| π |
| 2 |
| A、f（x）=sinx+cosx |
| B、f（x）=lnx-2x |
| C、f（x）=-x3+2x-1 |
| D、f（x）=-xe-x |
给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f′（x）存在，且导函数f′（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）=[（f′（x）]′．若f”（x）＞0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凹函数．以下四个函数在(0，
)上不是 凹函数的是（ ）
| π |
| 2 |
| A、f（x）=1-sinx |
| B、f（x）=ex-2x |
| C、f（x）=x3-x2-1 |
| D、f（x）=-xe-x |