Question

给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f′（x）存在，且导函数f′（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f′（x）=（f′（x））′．若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数．以下四个函数在（0，

π

2

）上不是凸函数的是

 

．（把你认为正确的序号都填上）
①f（x）=sin x+cos x；
②f（x）=ln x-2x；
③f（x）=-x³+2x-1；
④f（x）=xe^x．

Answer 1

分析：①由f″（x）=-（sinx+cosx）且x∈（0，

π

2

）时，f″（x）＜0恒成立；符合定义
对于②，f″（x）=-

1

x2

，且在x∈（0，

π

2

）时，f″（x）＜0恒成立；符合定义
对于③，f″（x）=-6x，在x∈（0，

π

2

）时，f″（x）＜0恒成立；符合定义
对于④，f″（x）=（2+x）•e^x在x∈（0，

π

2

）时f″（x）＞0恒成立，不符合定义

解答：解：对于①，f″（x）=-（sinx+cosx），x∈（0，

π

2

）时，
f″（x）＜0恒成立；
对于②，f″（x）=-

1

x2

，在x∈（0，

π

2

）时，f″（x）＜0恒成立；
对于③，f″（x）=-6x，在x∈（0，

π

2

）时，f″（x）＜0恒成立；
对于④，f″（x）=（2+x）•e^x在x∈（0，

π

2

）时f″（x）＞0恒成立，
所以f（x）=xe^x不是凸函数．
故答案为：④

点评：本题通过新定义函数来考查已有的知识的运用即恒成立问题．