Question

2．等差数列{a_n}满足：a₁=1，a₂+a₆=14；正项等比数列{b_n}满足：b₁=2，b₃=8．
（Ⅰ） 求数列{a_n}，{b_n}的通项公式a_n，b_n；
（Ⅱ）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（Ⅱ）由（I）有${a_n}•{b_n}=（2n-1）•{2^n}$，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₁=1，a₂+a₆=14；
∴2×1+6d=14，解得d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
设正项等比数列{b_n}的公比为q＞0，
∵b₁=2，b₃=8．
∴2q²=8，解得q=2．
∴b_n=2×2^n-1=2ⁿ．
因此数列{a_n}，{b_n}的通项公式${a_n}=2n-1，{b_n}={2^n}$．
（II）由（I）有${a_n}•{b_n}=（2n-1）•{2^n}$，
$\begin{array}{l}{T_n}=1•{2^1}+3•{2^2}+5•{2^3}+7•{2^4}+…+（2n-3）•{2^{n-1}}+（2n-1）•{2^n}，\\ 2{T_n}=1•{2^2}+3•{2^3}+5•{2^4}+7•{2^5}+…+（2n-3）•{2^n}，+（2n-1）•{2^{n+1}}，\end{array}$
两式相减，得$-{T_n}=1•{2^1}+2（（{2^2}+{2^3}+{2^4}+…+{2^n}）-（2n-1）•{2^{n+1}}$=$1•{2^1}+2×\frac{{{2^2}（1-{2^{n-1}}）}}{1-2}-（2n-1）•{2^{n+1}}=-6+（3-2n）{2^{n+1}}$，
∴${T_n}=6+（2n-3）•{2^{n+1}}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．