Question

7．已知函数f（x）=log_a（ax²-x+1），其中a＞0且a≠1．
（1）当a=$\frac{1}{2}$时，求函数f（x）的值域；
（2）当f（x）在区间$[{\frac{1}{4}，\frac{3}{2}}]$上为增函数时，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把$a=\frac{1}{2}$代入函数解析式，可得定义域为R，利用配方法求出真数的范围，结合复合函数单调性求得函数f（x）的值域；
（2）对a＞1和0＜a＜1分类讨论，由ax²-x+1在$[{\frac{1}{4}，\frac{3}{2}}]$上得单调性及ax²-x+1＞0对$x∈[{\frac{1}{4}，\frac{3}{2}}]$恒成立列不等式组求解a的取值范围，最后取并集得答案．

解答 解：（1）当$a=\frac{1}{2}$时，$a{x^2}-x+1=\frac{1}{2}{x^2}-x+1=\frac{1}{2}[{（x-1）^2}+1]＞0$恒成立，
故定义域为R，
又∵$a{x^2}-x+1=\frac{1}{2}[{（x-1）^2}+1]≥\frac{1}{2}$，且函数$y={log_{\frac{1}{2}}}x$在（0，+∞）单调递减，
∴${log_{\frac{1}{2}}}（\frac{1}{2}{x^2}-x+1）≤{log_{\frac{1}{2}}}\frac{1}{2}=1$，即函数f（x）的值域为（-∞，1]；
（2）依题意可知，
i）当a＞1时，由复合函数的单调性可知，必须ax²-x+1在$[{\frac{1}{4}，\frac{3}{2}}]$上递增，且ax²-x+1＞0对$x∈[{\frac{1}{4}，\frac{3}{2}}]$恒成立．
故有$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2a}≤\frac{1}{4}\\ a•{（\frac{1}{4}）^2}-\frac{1}{4}+1＞0\end{array}\right.$，解得：a≥2；
ii）当0＜a＜1时，同理必须ax²-x+1在$[{\frac{1}{4}，\frac{3}{2}}]$上递减，且ax²-x+1＞0对$x∈[{\frac{1}{4}，\frac{3}{2}}]$恒成立．
故有$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2a}≥\frac{3}{2}\\ a•{（\frac{3}{2}）^2}-\frac{3}{2}+1＞0\end{array}\right.$，解得：$\frac{2}{9}＜a≤\frac{1}{3}$．
综上，实数a的取值范围为$（{\frac{2}{9}，\frac{1}{3}}]∪[{2，+∞}）$．

点评 本题考查复合函数的单调性，考查了复合函数值域的求法，体现了分类讨论的数学思想方法及数学转化思想方法，属中档题．