Question

7．如图所示，一块三角形土地ABC，AD是一条小路，BC=5m，AC=4m，cos∠CAD=$\frac{31}{32}$，AD=BD，则该土地的面积是$\frac{15\sqrt{7}}{4}$m²．

Answer 1

分析 设CD=x，则AD=BD=5-x，利用余弦定理求出x=1，得出AD=4，使用勾股定理计算△ACD的高，得出三角形的面积．

解答 解：设CD=x，则AD=BD=5-x，
在△ACD中，由余弦定理得：cos∠CAD=$\frac{A{C}^{2}+A{D}^{2}-C{D}^{2}}{2AC•AD}$=$\frac{31}{32}$，
即$\frac{16+（5-x）^{2}-{x}^{2}}{2•4•（5-x）}$=$\frac{31}{32}$，解得x=1，∴CD=1，AD=4．
∴△ACD是等腰三角形，
过A作AE⊥CD于E，则E为CD的中点，CE=$\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}$．
∴AE=$\sqrt{A{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×BC×AE$=$\frac{15\sqrt{7}}{4}$．
故答案为：$\frac{15\sqrt{7}}{4}$．

点评 本题考查了余弦定理的应用，三角形的面积计算，属于中档题．