Question

8．已知抛物线C：x²=2py（p＞0），倾斜角为$\frac{π}{4}$且过点M（0，1）的直线l与C相交于A，B两点，且$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}$
（1）求抛物线C的方程；
（2）抛物线C与直线l′相切，求点M到直线l′的距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意，得直线l的方程为y=x+1，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}$，求出p，即可求抛物线C的方程；
（2）抛物线C与直线l′相切，可得切线方程，即可求点M到直线l′的距离的最小值．

解答 解：（1）由题意，得直线l的方程为y=x+1，直线l与C相交于A，B两点，
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}=2py，\;\;}\\{y=x+1，\;\;}\end{array}}\right.$∴x²-2px-2p=0，∴$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=2p，\;\;}\\{{x_1}•{x_2}=-2p，\;\;}\end{array}}\right.$
又∵$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{AM}=（-{x_1}，\;\;1-{y_1}）$，$\overrightarrow{MB}=（{x_2}，\;\;{y_2}-1）$，
∴-x₁=2x₂，即$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=2p\\{x_1}•{x_2}=-2p\\-{x_1}=2{x_2}\end{array}\right.$
解方程得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=1\\{x_2}=-\frac{1}{2}\\ p=\frac{1}{4}\end{array}\right.$
∴抛物线C：${x^2}=\frac{1}{2}y$．…（6分）
（2）∵${x^2}=\frac{1}{2}y$，即y=2x²，∴y'=4x．
设抛物线C上任意一点$N（{x_0}，\;\;2x_0^2）$，$y'\left|{_{x={x_0}}=4{x_0}}\right.$，
则在点$N（{x_0}，\;\;2x_0^2）$处的切线l'的方程为$y-2x_0^2=4{x_0}（x-{x_0}）$，
即l'：$4{x_0}x-y-2x_0^2=0$，
∴点M（0，1）到直线l'的距离为$d=\frac{|-1-2x_0^2|}{{\sqrt{1+16x_0^2}}}=\frac{1+2x_0^2}{{\sqrt{1+16x_0^2}}}（{x_0}∈R）$．
令$t=\sqrt{1+16x_0^2}≥1$，则$x_0^2=\frac{{{t^2}-1}}{16}$，∴$d=\frac{{{t^2}+7}}{8t}=\frac{1}{8}（{t+\frac{7}{t}}）≥\frac{{\sqrt{7}}}{4}$（当且仅当$t=\sqrt{7}$时取等号），
∴当${x_0}=±\frac{{\sqrt{6}}}{4}$时，${d_{min}}=\frac{{\sqrt{7}}}{4}$．
∴点M到直线l'的距离的最小值为$\frac{{\sqrt{7}}}{4}$．…（12分）

点评 本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查导数知识的运用，考查基本不等式，属于中档题．