Question

【题目】离心率为的椭圆经过点，是坐标原点．

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，求出该圆的方程，并求的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）存在，理由见解析；圆的方程为；.

【解析】

（1）利用离心率和椭圆所过点联立方程组可求椭圆的方程；

（2）先假设存在符合要求的圆，利用求出圆的切线，结合弦长公式表示出，利用基本不等式求解范围.

（1）因为椭圆经过点，所以；

又离心率为，所以，结合可得，

所以椭圆的方程为.

（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且，设圆的切线方程为，.

联立得，

即.

因为，所以，即，

所以，即；

因为圆的切线方程为，所以圆的半径为，，所求圆的方程为.

由及可得，即或；

当圆的切线斜率不存在时，切线方程为，切线与椭圆的交点为或者，均满足.

综上可知，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且.

因为

所以

当时，由于，所以，当且仅当时，取到最大值3；

当时，；

当斜率不存在时，直线与椭圆交于或者此时.

综上可知，.