Question

设函数f（x）=3sinx+2cosx+1．若实数a，b，c使得af（x）+bf（x-c）=1对任意实数x恒成立，则

bcosc

a

的值为（　　）

• A．-1
• B．

  1

  2

• C．1
• D．-

  1

  2

Answer 1

分析：将f（x）解析式前两项变形利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，表示出f（x）与f（x-c），代入已知等式中变形后根据x为R时恒成立列出关系式，联立即可求出所求式子的值．

解答：解：由题设可得f（x）=

13

sin（x+θ）+1，f（x-c）=

13

sin（x+θ-c）+1，其中cosθ=

3

13

，sinθ=

2

13

（0＜θ＜

π

2

），
∴af（x）+bf（x-c）=1可化成

13

asin（x+θ）+

13

bsin（x+θ-c）+a+b=1，
即

13

（a+bcosc）sin（x+θ）-

13

bsinccos（x+θ）+（a+b-1）=0，
由已知条件，上式对任意x∈R恒成立，故必有

a+bcosc=0① bsinc=0② a+b-1=0③

，
若b=0，则式（1）与式（3）矛盾；
故此b≠0，由（2）式得到：sinc=0，
当cosc=1时，有矛盾，故cosc=-1，
由①③知a=b=

1

2

，
则

bcosc

a

=-1．
故选A

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数恒成立问题，熟练掌握公式是解本题的关键．