Question

（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知三点A（-1，0），B（1，0），，以A、B为焦点的椭圆经过点C。
（I）求椭圆的方程；
（II）设点D（0，1），是否存在不平行于x轴的直线与椭圆交于不同两点M、N，使
？若存在，求出直线斜率的取值范围；若不存在，请说明理由：
（III）对于y轴上的点P（0，n），存在不平行于x轴的直线与椭圆交于不同两点M、N，使，试求实数n的取值范围。

Answer 1

（1）（2）不存在（3）

（I）设椭圆方程为，
据知，

∴所求椭圆方程为                                             …………4分
（II）
∴若存在符合条件的直线，该直线的斜率一定存在，
否则与点D（0，1）不在x轴上矛盾。
∴可设直线
由得
由 …………6分
设，
MN的中点为
则
又

解得：                                                             …………8分
（将点的坐标代入亦可得到此结果）
由得，
这是不可能的。
故满足条件的直线不存在。                                                   …………9分
（III）据（II）有
可推出要使k存在，只需
的取值范围是          …………12分