题目内容
已知锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝
，sin(A－B)＝
．
(1)求证：tanA＝2tanB；
(2)设AB＝3，求AB边上的高．
答案：
解析：
提示：
解析：
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(1)[证明]由已知 ①＋②，得sinAcosB＝ 两式相除，得 (2)∵ ∴cos(A＋B)＝ 即 解得tanB＝ 设AB边上的高为CD，则 AB＝AD＋DB＝ 由AB＝3，得CD＝2＋ [分析]利用两角和与两角差的正弦公式，可得到这两个角正切关系式，再根据三角形中内角和定理与平面几何知识，可求出所给角的正切值与已知边上的高． |
，①－②，得cosA·sinB＝
．
＝2，即tanA＝2tanB．
＜A＋B＜π，又sin(A＋B)＝
，
，∴tan(A＋B)＝－
．
＝－
，将tanA＝2tanB代入此式，整理得，2tan2B－4tanB－1＝0．
，舍去负值，∴tanB＝
，于是tanA＝
．
，
，故AB边上的高为2＋
．提示：
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本题主要考查对两角和与两角差三角公式的掌握及运用能力，注意锐角三角形中隐含的条件，会把已知线段分解为被高线分成的两线段的和，从而得到所求的高的关系式是解决此题的重要一步． |
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