Question

已知锐角三角形△ABC内角A、B、C对应边分别为a，b，c．tanA=

3 bc

b2+c2-a2

．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求cosB+cosC的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由余弦定理表示出b²+c²-a²=2bccosA，代入tanA=

3 bc

b2+c2-a2

即可得到sinA的值，然后根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的大小；
（Ⅱ）由三角形为锐角三角形且由（Ⅰ）得到A的度数可知B+C的度数，利用C表示出B并求出B的范围，代入所求的式子中，利用两角差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，再利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数为sin（B+

π

6

），然后根据求出的B的范围求出B+

π

6

的范围，根据角的范围，利用正弦函数的图象即可求出sin（B+

π

6

）的范围即为cosB+cosC的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由余弦定理知，b²+c²-a²=2bccosA，
∴tanA=

3

2cosA

?sinA=

3

2

，
∵A∈(0，

π

2

)，
∴A=

π

3

；
（Ⅱ）∵△ABC为锐角三角形，且B+C=

2π

3

，
∴

π

6

＜B=

2π

3

-C＜

π

2

，
∴cosB+cosC=cosB+cos(

2π

3

-B)
=cosB+cos

2π

3

cosB+sin

2π

3

sinB
=

1

2

cosB+

3

2

sinB=sin(B+

π

6

)，
∵

π

3

＜B+

π

6

＜

2π

3

，
∴

3

2

＜sin(B+

π

6

)≤1，
即cosB+cosC的取值范围是(

3

2

，1]．

点评：此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦、余弦函数公式及特殊角的三角函数值，是一道综合题．