Question

已知焦点在x轴上椭圆的长轴的端点分别为A，B，O为椭圆的中心，F为右焦点，且

AF

•

BF

=-1，离心率e=

2

2

．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰好为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程，利用

AF

•

BF

=-1，离心率e=

2

2

，可求几何量，从而可得椭圆的标准方程；
（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆与点P，Q两点，且F恰好为△PQM的垂心，设直线l为y=x+m，与椭圆方程联立，利用韦达定理，及

MP

•

FQ

=0，即可求得直线l的方程．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，则A（-a，0），B（a，0），F（c，0）
∵

AF

•

BF

=-1
∴（c+a，0）•（c-a，0）=-1
∴c²-a²=-1
∵离心率e=

2

2

，∴

c

a

=

2

2

∴a²=2，c²=1
∴b²=a²-c²=1
∴椭圆的标准方程为

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆与点P，Q两点，且F恰好为△PQM的垂，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），因为M（0，1），F（1.0），所以k_PQ=1．
于是设直线l为y=x+m，由

y=x+m x2 2 +y2=1

得3x²+4mx+2m²-2=0
∴x₁+x₂=-

4m

3

，x₁x₂=

2m2-2

3

∵

MP

•

FQ

=0
∴x₁（x₂-1）+y₂（y₁-1）=0
∴2x₁x₂+（x₁+x₂）（m-1）+m²-m=0=0
∴2×

2m2-2

3

-

4m

3

（m-1）+m²-m=0=0
∴m=-

4

3

或m=1（舍去）
故直线l的方程为y=x-

4

3

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生的计算能力，属于中档题．