题目内容

已知焦点在x轴上椭圆的长轴的端点分别为A，B，O为椭圆的中心，F为右焦点，且 $数学公式$ ，离心率e= $数学公式$ ．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰好为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为 $\text{[math]}$ ，则A（-a，0），B（a，0），F（c，0）
∵ $\text{[math]}$
∴（c+a，0）•（c-a，0）=-1
∴c²-a²=-1
∵离心率e= $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∴a²=2，c²=1
∴b²=a²-c²=1
∴椭圆的标准方程为 $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆与点P，Q两点，且F恰好为△PQM的垂，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），因为M（0，1），F（1.0），所以k_PQ=1．
于是设直线l为y=x+m，由 $\text{[math]}$ 得3x²+4mx+2m²-2=0
∴x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$
∴x₁（x₂-1）+y₂（y₁-1）=0
∴2x₁x₂+（x₁+x₂）（m-1）+m²-m=0=0
∴2× $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ （m-1）+m²-m=0=0
∴m=- $\text{[math]}$ 或m=1（舍去）
故直线l的方程为y=x- $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程，利用 $\text{[math]}$ ，离心率e= $\text{[math]}$ ，可求几何量，从而可得椭圆的标准方程；
（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆与点P，Q两点，且F恰好为△PQM的垂心，设直线l为y=x+m，与椭圆方程联立，利用韦达定理，及 $\text{[math]}$ ，即可求得直线l的方程．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生的计算能力，属于中档题．