Question

已知焦点在x轴上的椭圆

x2

4

+

y2

b2

=1，(b＞0)F₁，F₂是它的两个焦点，若椭圆上存在点P，使

PF1

•

PF2

=0，则b的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先证：若B为椭圆短轴端点，则∠F₁PF₂≤∠F₁BF₂．记∠F₁PF₂=θ，
|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，cosθ=

4a2 -4c2

2r1r2

-1推出cosθ≥

a2+a2-4c2

2a2

=cos∠F₁BF₂，即∠F₁PF₂≤∠F₁BF₂．
利用结论，题中椭圆上存在点P，使得∠F₁PF₂=90⁰，当且仅当∠F₁BF₂≥90⁰，推出b∈（0，

2

]．

解答：解：先证一个结论：若B为椭圆短轴端点，则∠F₁PF₂≤∠F₁BF₂．记∠F₁PF₂=θ，
|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，cosθ=

r12+r22-4c2

2r1r2

=

(r1 +r2)2-2r1r2-4c2

2r1r2

=

4a2 -4c2

2r1r2

-1
又r₁r₂≤（

r1+r2

2

）²=a²，∴cosθ≥

a2+a2-4c2

2a2

=cos∠F₁BF₂，当且仅当r₁=r₂时等号成立，
即∠F₁PF₂≤∠F₁BF₂．题中椭圆上存在点P，使得∠F₁PF₂=90⁰，当且仅当∠F₁BF₂≥90⁰，即
cos∠F₁BO≤

2

2

等价于b≤

2

2

a=

2

，∴b∈（0，

2

]．
故答案为：（0，

2

]．

点评：本题考查椭圆的应用，考查分析问题解决问题的能力，计算能力逻辑思维能力，是难题，考查转化思想．