Question

设a＞0为常数，已知函数f（x）=cos²（x-

2π

3

）+sin²（x-

5π

6

）+asin

x

2

cos

x

2

的最大值为3，求a的值．

Answer 1

分析：由倍角的公式、两角差的余弦公式化简解析式，再由平方关系将解析式转化为关于sinx的二次式，配方后求a的范围和正弦函数的值域求出此函数最大值，结合条件求解．

解答：解：由题意得f(x)=

1+cos(2x- 4π 3 )

2

+

1-cos(2x- 5π 3 )

2

+

a

2

sinx
=1+

1

2

(cos2xcos

4π

3

+sin2xsin

4π

3

)-

1

2

(cos2xcos

5π

3

+sin2xsin

5π

3

)+

a

2

sinx
=1-

1

2

cos2x+

a

2

sinx=1-

1

2

(1-2sin2x)+

a

2

sinx
=sin2x+

a

2

sinx+

1

2

=(sinx+

a

4

)2+

1

2

-

a2

16

∵a＞0，∴对称轴-

a

4

＜0，
则当sinx=1时，f（x）取最大值为

a+3

2

，
由题意得

a+3

2

=3，解得a=3．

点评：本题考查了倍角的公式、两角差的余弦公式，平方关系，以及正弦函数的值域，二次函数的性质的应用，利用了整体思想和配方法．