Question

如图，椭圆与双曲线有公共焦点F₁、F₂，它们在第一象限的交点为A，且AF₁⊥AF₂，∠AF₁F₂=30°，则椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（　　）

• A、2

  3

• B、

  3

• C、2
• D、1

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：运用椭圆和双曲线的定义，结合离心率公式和解直角三角形的有关知识，化简计算即可得到．

解答： 解：由椭圆的定义，可得，AF₁+AF₂=2a₁，
由双曲线的定义，可得，AF₁-AF₂=2a₂，
在直角△AF₁F₂中，∠AF₁F₂=30°，
则AF₂=

1

2

F₁F₂=c，AF₁=

3

2

F₁F₂=

3

c，
则有2a₁=（

3

+1）c，2a₂=（

3

-1）c，
则离心率e₁=

c

a1

=

2

3 +1

，e₂=

c

a2

=

2

3 -1

，
即有

1

e1

+

1

e2

=

3 +1

2

+

3 -1

2

=

3

．
故选B．

点评：本题考查椭圆和双曲线的定义和性质：离心率，考查运算能力，属于中档题．