Question

【题目】已知函数.

（1）若的图像过点，且在点处的切线方程为，试求函数的单调区间；

（2）当时，若函数恒成立，求整数的最小值.

Answer 1

【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为（2）1

【解析】

（1）根据且求得函数解析式，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）函数恒成立等价于在区间内恒成立，根据零点存在定理确定极值点的范围，可得的范围，从而可得结果.

（1）函数过点可知，①，，

∴，，②，联立①②可得，

所以，函数的定义域为，

可知，，，，

可知函数的单调递增区间为，单调递减区间为

（2）由可知，

因为，所以原命题等价于在区间内恒成立.

设，

可设，在单调递增，且，，

所以存在唯一的，使得

且当时，，单调递增，

当，，单调递减，

所以当时，有极大值，也为最大值，且

又，所以，∴，可知，所以的最小值为1.