Question

设P为双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的渐近线在第一象限内的部分上一动点，F为双曲线C的右焦点，A为双曲线C的右准线与x轴的焦点，若∠APF的最大值为

π

3

，则双曲线的离心率为

2

．

Answer 1

分析：根据题意得A（

a2

c

，0），F（c，0），P（at，bt） 由直线的斜率公式，得K_PF=

bt

at-c

，K_PA=

bt

at- a 2 c

，再利用根据到角公式，得tan∠APF的表达式，最后利用基本不等式求得tan∠APF的最大值，以及取得取大值时有：cos∠APF=

1

1+(tan∠APF) 2

=

1

e

，结合∠APF的最大值为

π

3

，即可求得双曲线的离心率．

解答：解：由题意得：A（

a2

c

，0），F（c，0），P（at，bt）
由直线的斜率公式，得
K_PF=

bt

at-c

，K_PA=

bt

at- a 2 c

根据到角公式，得
tan∠APF=

bt at-c - bt at- a 2 c

1+ bt at-c  • bt at- a 2 c

化简，得tan∠APF=

b 3

c3t+ a2c t -(a3+ac 2)

≤

b 3

2 c3t• a2c t -(a3+ac 2)

=

b 3

2ac 2- (a3+ac 2)

=

b

a

此时 cos∠APF=

1

1+(tan∠APF) 2

=

1

e

则∠APF的最大值为 arccos

1

e

，
若∠APF的最大值为

π

3

，
则cos

π

3

=

1

e

⇒e=2
双曲线的离心率为2
故答案为：2．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．涉及了双曲线方程中a，b和c的关系，渐近线问题，离心率问题等．