Question

【题目】已知椭圆 的长轴长是短轴长的2倍，且过点．

⑴求椭圆的方程；

⑵若在椭圆上有相异的两点（三点不共线），为坐标原点，且直线，直线，直线的斜率满足.

（ⅰ）求证： 是定值；

（ⅱ）设的面积为，当取得最大值时，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析， .

【解析】试题分析：（1）由题可知： ，可设椭圆方程为，由椭圆过点，即可求出， 的值，从而求出椭圆的方程；（2）（ⅰ）设直线AB方程为： ， ， ，根据，可化简得，再根据三点不共线，进而化简得，联立直线与椭圆方程，消去，结合韦达定理，即可解得，从而可得，(ⅰ)表示出，即可求出定值；（ⅱ）表示出= ，结合的取值范围及基本不等式，求出取得最大值时的值，进而可求出直线方程.

试题解析：（1）由题可知： ，可设椭圆方程为，又因椭圆过点，则，解得，所以椭圆方程为

（2）设直线AB方程为： ， ，

∵

∴，化简得：

∵A、O、B三点不共线

∴ 则 ①

由可得: ,

由韦达定理可得 ② 且 ③

将②代入①式得： ，解得，则 ④

(ⅰ) ==

将④代入得==

(ⅱ) ==

由 ③ ④ 可得： ，则==，

当且仅当时，直线方程为.