Question

【题目】如图在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，BC= ，AB=CC1=2，∠BCC1= ，点E在棱BB1上．

（1）求C1B的长，并证明C1B⊥平面ABC；
（2）若BE=λBB1 ， 试确定λ的值，使得二面角A﹣C1E﹣C的余弦值为 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为BC= ，CC1=BB1=2，∠BCC1= ，

在△BCC1中，由余弦定理，得C1B= = ，

所以C1B2+BC2=CC12，即C1B⊥BC．

又AB⊥侧面BCC1B1，故AB⊥BC1，

又CB∩AB=B，所以C1B⊥平面ABC．

（2）解：由（1）知，BC，BA，BC1两两垂直，

以B为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，

则B（0，0，0），A（0，2，0），C（ ，0，0），

=（0，2，﹣ ）， = +λ = +λ =（﹣ λ，0， λ﹣ ），

设平面AC1E的一个法向量为 =（x，y，z），

则 ，

令z= ，得 =（ ，1， ），

平面C1EC的一个法向量 =（0，1，0），

∵BE=λBB1，确定λ的值，使得二面角A﹣C1E﹣C的余弦值为 ，

∴cos＜ ＞= = = ，

解得 ，

∴当λ= 时，二面角A﹣C1E﹣C的余弦值为 ．

【解析】（1）由余弦定理，得C1B= ，由勾股定理得C1B⊥BC．由线面垂直得AB⊥BC1 ， 由此能证明C1B⊥平面ABC．（2）以B为空间坐标系的原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当λ= 时，二面角A﹣C1E﹣C的余弦值为 ．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能正确解答此题．