Question

如图，一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，其中有一个高为xcm的内接圆柱．
（1）试用x表示圆柱的侧面积；
（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大．

Answer 1

分析：（1）由题意作出几何体的轴截面，根据轴截面和比例关系列出方程，求出圆柱的底面半径，再表示出圆柱的侧面积；
（2）由（1）求出的侧面面积的表达式，根据二次函数的性质求出侧面面积的最大值．

解答：解：（1）设所求的圆柱的底面半径为r，它的轴截面如图：
由图得，

r

2

=

6-x

6

，即r=2-

x

3

．
∴S_圆柱侧=2πrx=2π(2-

x

3

)x=4πx-

2π

3

x2（5分）

（2）由（1）知当x=-

4π

2(- 2π 3 )

=3时，这个二次函数有最大值为6π，
∴当圆柱的高为3cm时，它的侧面积最大为6πcm²（10分）

点评：本题的考点是简单组合体的面积问题，关键是作出轴截面，求出长度之间的关系式，表示出面积后利用函数的思想求出最值，考查了数形结合思想和函数思想．