题目内容
过双曲线
-
=1(a>0,b>0)的一个焦点F作x轴的垂线,交双曲线的一支于P、Q两点,又过F作一直线平行于双曲线的一条渐近线,交双曲线于R,求证:|PQ|=4|FR|.
证明:设F点的坐标为(c,0),?
将x=c代入双曲线方程
-=1,
得y2=,
∴|PQ|=
.
过点F(c,0)且与双曲线的渐近线bx+ay=0平行的直线为y=-
(x-c),?
代入双曲线方程,得
-
=1.
解之得x=
,代入y=-
(x-c),
得y=-
(
-c),即y=-
.
∴|FR|2=(x-c)2+y2=(
-c)2+
=
+
=
·(1+
)
=
·
=
.
故|FR|=
,∴|PQ|=4|FR|.
温馨提示:证|PQ|等于4|FR|,需用双曲线的基本量a、b表示它们.
练习册系列答案
相关题目
=1(a＞0,b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于___________.
=1(a＞0,b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于_____________.
=1(a＞0,b＞0)的一个焦点F引它的一条渐近线的垂线FM，垂足为M，并且交y轴于E，若M为EF的中点，则该双曲线的离心率为（ ）
D.
=1(a>0，b>0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若T为线段FP的中点，则该双曲线的渐近线方程为