Question

【题目】已知椭圆的离心率为，右焦点为，斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.

(1)求椭圆的方程；

(2) 为椭圆上任意一点，若，求的最大值和最小值.

(3)求的面积.

Answer 1

【答案】(1) (2) 最大值为1和最小值为（3）

【解析】试题分析：（1）由离心率及焦点坐标，易得方程；

（2）设则直线的方程为，与椭圆联立由得的范围，又，即可得解；

（3）设直线的方程为，与椭圆联立，利用韦达定理得中点坐标，从而由的斜率，解得，进而得，由点到直线距离求得，利用求解即可.

试题解析：

(1)由已知得， ，

解得，又，

所以椭圆的方程为.

(2)设则直线的方程为，则.

由，得①

， 的最大值为1和最小值为.

(3)设直线的方程为，

由，得①

设的坐标分别为， ， 中点为，

则， ，

因为是等腰的底边，所以，

所以的斜率，

解得，此时方程①为，

解得， ，所以， ，

所以，此时，点到直线的距离

，所以的面积.