Question

10．设k∈R，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{1-x}，x＜1}\\{-\sqrt{x-1}，x≥1}\end{array}\right.$，F（x）=f（x）-kx，x∈R．
（1）当k=1时，求函数F（x）的单调区间；
（2）若函数F（x）在（-∞，-1]内是单调增函数，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当k=1时，分别求出函数F（x）的解析式，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系进行判断．
（2）利用导数将函数F（x）在（-∞，-1]内是单调增函数，转化为F′（x）≥0恒成立，利用参数分离法转化为求函数的最值即可．

解答 解：（1）当k=1时，F（x）=f（x）-x，
当x＜1时，F（x）=f（x）-x=$\frac{1}{1-x}$-x，
F′（x）=$\frac{1}{（x-1）^{2}}$-1=$\frac{1-（x-1）^{2}}{（x-1）^{2}}$=$\frac{-{x}^{2}+2x}{（x-1）^{2}}$，
由F′（x）＞0得-x²+2x＞0，即0＜x＜2，∵x＜1，∴此时0＜x＜1，函数为增函数，
由F′（x）＜0得-x²+2x＜0，即x＜0或x＞2，∵x＜1，∴此时x＜0，函数为减函数，
当x≥1时，F（x）=f（x）-x=-$\sqrt{x-1}$-x为减函数，
故函数F（x）的单调递减区间为为（-∞，0），[1，+∞），
函数的单调递增区间为（0，1）．
（2）当x≤-1时，F（x）=f（x）-kx=$\frac{1}{1-x}$-kx，
要使函数F（x）在（-∞，-1]内是单调增函数，
则F′（x）≥0恒成立，
即F′（x）=$\frac{1}{（x-1）^{2}}$-k≥0，即k≤$\frac{1}{（x-1）^{2}}$，
∵x≤-1，∴（x-1）²≥4，
即0＜$\frac{1}{（x-1）^{2}}$≤$\frac{1}{4}$，
∴k≤0，即实数k的取值范围是（-∞，0]．

点评 本题主要考查分段函数单调性的判断，求出分段函数的表达式，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．