Question

△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a=4，b+c=5，tanA+tanB+

3

=

3

tanAtanB．
（1）求角C；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）利用两角和正切公式 求出tan（A+B）的值，进而求得C 的值．
（2）a=4，b+c=5，由余弦定理求得c²=a²+b²-2abcosC 的值，由S△ABC=

1

2

absinC求得结果．

解答：解：（1）由tanA+tanB+

3

=

3

tanAtanB，得tanA+tanB=-

3

(1-tanAtanB)

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

3

，
∴tan(A+B)=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

3

，∵△ABC中，∴A+B=π-C，
∴tan(A+B)=-tanC=-

3

，tanC=

3

C=

π

3

．
（2）a=4，b+c=5，∵由c²=a²+b²-2abcosCc2=16+(5-c)2-8(5-c)×

1

2

，
解得：c=

7

2

，b=

3

2

，∴S△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×4×

3

2

×

3

2

=

3 3

2

．

点评：本题考查两角和正切公式的应用，已知三角函数的值求角的大小，求出角C是解题的关键．