Question

已知函数f(x)=

1- 1 x    x≥1 1 x -1   0＜x＜1.

（1）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求

1

a

+

1

b

的值；
（2）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由；
（3）若存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]（m≠0）．求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据分段函数，可知f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上是增函数．利用f（a）=f（b），可求

1

a

+

1

b

的值；
（2）假设存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是[a，b]，分三种情况讨论：a，b∈（0，1）；a，b∈[1，+∞）；a∈（0，1），b∈[1，+∞），分别利用相应函数解析式求解即可；
（3）与（2）同样思路：分三种情况讨论：a，b∈（0，1）；a，b∈[1，+∞）；a∈（0，1），b∈[1，+∞），分别利用相应函数解析式求解即可的结论．

解答：解：（1）∵f(x)=

1- 1 x ，x≥1 1 x -1，0＜x＜1.

∴f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上是增函数．
由0＜a＜b，且f（a）=f（b），
可得 0＜a＜1＜b且

1

a

-1=1-

1

b

．
所以

1

a

+

1

b

=2．
（2）不存在满足条件的实数a，b．
若存在满足条件的实数a，b，则0＜a＜b
①当a，b∈（0，1）时，f(x)=

1

x

-1在（0，1）上为减函数．
故

f(a)=b f(b)=a.

即  

1 a -1=b 1 b -1=a.

解得  a=b．
故此时不存在适合条件的实数a，b．
②当a，b∈[1，+∞）时，f(x)=1-

1

x

在（1，+∞）上是增函数．
故

f(a)=a f(b)=b.

即  

1- 1 a =a 1- 1 b =b.

此时a，b是方程x²-x+1=0的根，此方程无实根．
故此时不存在适合条件的实数a，b．
当a∈（0，1），b∈[1，+∞）时，由于1∈[a，b]，而f（1）=0∉[a，b]，
故此时不存在适合条件的实数a，b．
综上可知，不存在适合条件的实数a，b．
（3）若存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]．
则a＞0，m＞0．
当此时得a，b异号，不符合题意，所以a，b不存在．
a，b∈（0，1）时，由于f（x）在（0，1）上是减函数，
故

3 1 a -1=mb 4 1 b -1=ma.5

当a∈（0，1），b∈[1，+∞）时，易知0在值域内，值域不可能是[ma，mb]，
所以a，b不存在．　　　　　　
故只有a，b∈[1，+∞）
∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴

f(a)=ma f(b)=mb.

即  

1- 1 a =ma 1- 1 b =mb.

1，b是方程mx²-x+1=0的两个根．
即关于x的方程mx²-x+1=0有两个大于1的实根．设这两个根为x₁，x₂．
则x₁+x₂=

1

m

，x₁•x₂=

1

m

．
∴

△＞0 (x1-1)+(x2-1)＞0 (x1-1)(x2-1)＞0.

即  

1-4m＞0 1 m -2＞0.

解得   0＜m＜

1

4

． 
故m的取值范围是0＜m＜

1

4

．

点评：本题的考点是函数与方程的综合应用，主要考查已知分段函数，研究函数的定义域与值域，利用方程的思想解决函数问题，有一定的难度．