Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别为PC，PD和BC的中点．
（1）求证PA∥平面EFG．
（2）求异面直线FG与CD所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）取AD的中点H，连接GH，FH，根据E，F，G分别为PC，PD和BC的中点可以得到EF∥CD以及GH∥CD；进而得到E，F，G，H四点共面；再结合PA∥FH即可得到PA∥平面EFG；
（2）先根据HG∥DC，得到FG与CD所成角等于∠FGH或其补角；然后通过条件得到FH⊥HG；最后在直角三角形FHG中求出∠FGH即可．

解答： （1）证．如图，取AD的中点H，连接GH，FH，
∵E，F分别为PC，PD的中点，
∴EF∥CD．
∵G，H分别为BC，AD的中点，∴GH∥CD．
∴EF∥GH，∴E，F，G，H四点共面．…（2分）
∵F，H分别为DP，DA的中点．∴PA∥FH．…（4分）
∵PA?平面EFG，FH?平面EFG，
∴PA∥平面EFG．…（6分）
（2）解．由（1）知HG∥DC，故FG与CD所成角等于∠FGH或其补角．…（7分）
又易得HG=DC=2，FH=

2

，…（8分）
又PD⊥平面ABCD且DA⊥AB，故PA⊥AB，…（9分）
再由FH∥PA知FH⊥HG，tan∠FGH=

FH

HG

=

2

2

．…（11分）
故异面直线FG与CD所成角的正切值是

2

2

．…（12分）

点评：本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧．