Question

【题目】设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知：a5＝2a2+3且a2，，a14成等比数列．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设正项数列{bn}满足bn2Sn+1＝Sn+1+2，求证：b1+b2+…+bn＜n+1．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）an＝2n﹣1；（Ⅱ）详见解析．

【解析】

（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的中项性质，注意，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；

（Ⅱ）求得，求得，并推得，再由数列的分组求和以及裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证．

（Ⅰ）设等差数列的公差为d，由可得，

又，，成等比数列，可得，

即，且，

解得，，

则；

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得，

由，可得，

由

，

故.

得证.