Question

若f₀（x）=sinx，f₁（x）=f₀′（x），f₂（x）=f₁′（x），…，f_n+1（x）=f_n′（x），n∈N，则f₂₀₀₉′（x）=

cosx

．

Answer 1

分析：由题意对函数的变化规律进行探究，发现呈周期性的变化，且其周期是4，故只须研究清楚f₂₀₀₉（x）是一个周期中的第几个函数即可得出其解析式．

解答：解：由题意f₀（x）=sinx，f₁（x）=f₀^′（x）=cosx，f₂（x）=f₁^′（x）=-sinx，f₃（x）=f₂^′（x）=-cosx，f₄（x）=f₃^′（x）=sinx，由此可知，在逐次求导的过程中，所得的函数呈周期性变化，从0开始计，周期是4，
∵2009=4×502+1，f₂₀₀₉（x）是一周中的第一个函数，故f₂₀₀₉（x）=cosx
故答案为cosx

点评：本题考查函数的周期性，探究过程中用的是归纳推理，对其前几项进行研究得出规律，求解本题的关键一是要归纳推理的意识，一是对正、余弦函数的导数求法公式熟练掌握．本题易因为判断不准f₂₀₀₉（x）一周期中的第几个数而导致错误，要谨慎．