Question

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点A(0,)为圆心,1为半径的圆相切,又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若Q是双曲线C上的任一点,F₁、F₂为双曲线C的左、右两个焦点,从F₁引∠F₁QF₂的平分线的垂线,垂足为N,试求点N的轨迹方程.

Answer 1

思路分析：本题主要考查了已知双曲线的性质求双曲线的方程，利用直线与圆相切可求双曲线的渐近线的斜率，从而求得渐近线的方程.在解决（2）时主要利用双曲线的定义，和代入法求轨迹方程.

解：(1)设双曲线C的渐近线方程为y=kx,即kx-y=0.

∵该直线与圆x²+(y-)²=1相切,∴=1,即k=±1.

∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x.

故设双曲线C的方程为=1.

又双曲线C的一个焦点为(,0),

∴2a²=2,a²=1.

∴双曲线C的方程为x²-y²=1.

(2)若Q在双曲线的右支上,则延长QF₂到T,使|QT|=|QF₁|.

若Q在双曲线的左支上,则在QF₂上取一点T,使|QT|=|QF₁|.

根据双曲线的定义|TF₂|=2,所以点T在以F₂(,0)为圆心,2为半径的圆上,即点T的轨迹方程是

(x-)²+y²=4(y≠0).①

由于点N是线段F₁T的中点,设N(x,y)、T(x_T,y_T),

则

代入①并整理得点N的轨迹方程为x²+y²=1(y≠0).