Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=6，用过A₁，B，C₁三点的平面截去长方体的一个角后，留下如图的几何体，且这几何体的体积为120．
（1）求棱AA₁的长；
（2）求点D₁到平面A₁BC₁的距离．

Answer 1

解：（1）设AA₁=h，由几何体的体积关系可得：
V=6²•h-
∴AA₁=h=4…（4分）
（2）如图建立空间直角坐标系，
则A₁（6，0，4），B（6，6，0），C₁（0，6，4），D₁（0，0，6）．
设平面A₁BC₁的法向量为，
∴，
，由得…（8分）
又，
∴=…（12分）
分析：（1）通过长方体的体积减去三棱锥的体积直接求棱AA₁的长；
（2）建立空间直角坐标系，求出A₁，B，C₁，D₁．设平面A₁BC₁的法向量为，通过得利用，求出点D₁到平面A₁BC₁的距离．
点评：本题考查几何体的体积的求法，空间直角坐标系，距离的求法，考查计算能力．