题目内容
(2013•上海) 如图,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,AB=2,AD=1,AA′=1.证明直线BC′平行于平面D′AC,并求直线BC′到平面D′AC的距离.
分析:建立空间直角坐标系,求出平面D′AC的一个法向量为
=(2,1,-2),再根据
•
=-0,可得
⊥
,
可得直线BC′平行于平面D′AC.求出点B到平面D′AC的距离d=
的值,即为直线BC′到平面D′AC的距离.
n |
n |
BC′ |
n |
BC′ |
可得直线BC′平行于平面D′AC.求出点B到平面D′AC的距离d=
|
| ||||
|
|
解答:解:以D′A′所在的直线为x轴,以D′C′所在的直线为y轴,以D′D所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系.
则由题意可得,点A(1,0,1 )、B(1,2,1)、C(0,2,1)、C′(0,2,0)、D′(0,0,0).
设平面D′AC的一个法向量为
=(u,v,w),则由
⊥
,
⊥
,可得
•
=0,
•
=0.
∵
=(1,0,1),
=(0,2,1),∴
,解得
.
令v=1,可得 u=2,w=-2,可得
=(2,1,-2).
由于
=(-1,0,-1),∴
•
=-0,故有
⊥
.
再由BC′不在平面D′AC内,可得直线BC′平行于平面D′AC.
由于
=(1,0,0),可得点B到平面D′AC的距离d=
=
=
,
故直线BC′到平面D′AC的距离为
.
则由题意可得,点A(1,0,1 )、B(1,2,1)、C(0,2,1)、C′(0,2,0)、D′(0,0,0).
设平面D′AC的一个法向量为
n |
n |
D′A |
n |
D′C |
n |
D′A |
n |
D′C |
∵
D′A |
D′C |
|
|
令v=1,可得 u=2,w=-2,可得
n |
由于
BC′ |
n |
BC′ |
n |
BC′ |
再由BC′不在平面D′AC内,可得直线BC′平行于平面D′AC.
由于
CB |
|
| ||||
|
|
|2×1+1×0+(-2)×0| | ||
|
2 |
3 |
故直线BC′到平面D′AC的距离为
2 |
3 |
点评:本题主要考查利用向量法证明直线和平面平行,求直线到平面的距离的方法,体现了转化的数学思想,属于中档题.
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