Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1两渐近线为l₁、l₂，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l₁，又设l与l₂交于点P，l与C两交点自上而下依次为A、B；
（1）当l₁与l₂夹角为

π

3

，双曲线焦距为4时，求椭圆C的方程及其离心率；
（2）若

FA

=λ

AP

，求λ的最小值．

Answer 1

分析：（1）直接由l₁与l₂夹角为

π

3

，双曲线焦距为4时列出关于a，b，c的方程，再结合a，b，c之间的关系，求出a，b，c，即可求椭圆C的方程及其离心率；
（2）先联立l与l₂求出点P的坐标，再根据

FA

=λ

AP

，求出点A的坐标；由点A在椭圆上，即可得到关于λ与e之间的等量关系，最后结合e的取值范围以及函数求最值的方法即可求λ的最小值．

解答：解：（1）由l₁与l₂夹角为

π

3

知，

b

a

=tan

π

6

=

3

3

…（1分）
又焦距为4∴a=

3

，b=1 
∴椭圆C：

x2

3

+y2=1，
e=

2

3

=

6

3

．…（3分）
（2）不妨设l1：y=

b

a

x，l2：y=-

b

a

x  则l：y=-

a

b

(x-c)
联立：

y=- a b (x-c) y=- a b x

?P（

a2

c

，-

ab

c

）
 由

FA

=λ

AP

得，

XA= c+λ• a2 c 1+λ yA= λ•(- ab c ) 1+λ

又点A椭圆上，∴

(c+ λa2 c )2

(1+λ)2a2

+

(- abλ c )2

(1+λ)2•b2

 =1
    整理得λ²=

(a2-c2) c2

a2(2a2-c2)

…（7分）
∴λ²=

e2-e4

2-e2

=

(e2-2)2+3(e2-2 )+2

e2-2

=（e²-2）+

2

e2-2

+3
∵0＜e＜1∴-2＜e²-2＜-1   
∴-3＜（e²-2）+

2

e2-2

≤-2

2

∴0＜λ²≤3-2

2

．
 由题知，λ＜0∴1-

2

≤λ＜0 …（9分）
所以，λ的最小值为1-

2

．…（10分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题．第二问涉及到用基本不等式求函数的值域，在用基本不等式求函数的值域时，要注意其适用的三个限制条件：①均为正数，②积（或）和为定值，③等号成立时变量有意义．
所以在第二问用基本不等式求函数的值域时，须注意把其转化为正数再求解．