题目内容

已知△ABC，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量 $数学公式$ =（a，-2b-c）， $数学公式$ =（cosA，cosC），且 $数学公式$ ∥ $数学公式$ ．
（I）求角A的大小；
（II）求 $数学公式$ 的最大值，并求取得最大值时角B，C的大小．

解：（I）∵ $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，
∴acosC+（2b+c）cosA=0．
由正弦定理可得sinAcosC+（2sinB+sinC）cosA=0，
∴sin（A+C）+2sinBcosA=0．
∴sin（A+C）=sinB，由于sinB≠0，
∴cosA=- $\text{[math]}$ ，得A= $\text{[math]}$ ．
（II）∵A= $\text{[math]}$ ，∴B= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ -sin（-C）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ cosC+sinC= $\text{[math]}$ +2 sin（C+ $\text{[math]}$ ）．
∵0＜C＜ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ＜C+ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，
∴当 C+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时，即C= $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 取得最大值等于 $\text{[math]}$ +2．
此时，C= $\text{[math]}$ ，B= $\text{[math]}$ ．
分析：（I）利用两个向量共线的性质得acosC+（2b+c）cosA=0，再由正弦定理得sin（A+C）+2sinBcosA=0，由此求出cosA的值，即可得到角A的大小．
（II）由A= $\text{[math]}$ ，故 B= $\text{[math]}$ ，代入要求的式子化简为 $\text{[math]}$ +2 sin（C+ $\text{[math]}$ ），根据C+ $\text{[math]}$ 的范围，求出 sin（C+ $\text{[math]}$ ）的最大值，即可得到 $\text{[math]}$ +2 sin（C+ $\text{[math]}$ ）的最大值．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量共线的性质，正弦定理、求三角函数的最值，属于中档题．