Question

设P为等边△ABC外接圆的BC上的一点，求证：PA²=AB²+PB•PC．

Answer 1

分析：由已知我们分析待证结论中的边对应的线段，并将其归结到相应的三角形中，我们要证明结论，可以证明相应的三角形相似，由已知条件我们不难证明，△ABP∽△ADB且△BPD∽△APC根据相似三角形对应边成比例，及已知中线段之间的等量关系，我们不难得到结论．

解答：证明：在△ABP和△ADB中，
∠BAP=∠DAB为公用角，
又∠APB=∠ACB=∠ABD=60°
△ABP∽△ADB，
AB²=PA•AD（1）
同理可证△BPD∽△APC，

PB

PD

=

PA

PC

，
∴PB•PC=PA•PD（2）
（1）、（2）式左、右两边分别相加，则得
AB²+PB•PC=PA（AD+PD）=PA²，
∴PA²=AB²+PB•PC．

点评：证明一个复杂的积等式，关键是要分析积等式中的线段所在的三角形，将线段归结到相应三角形后，我们可以证明对应的三角形相似，再利用相似三角形性质，即对应边成比例，给出线段之间的关系，从而证明出结论．