Question

椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F(c，0)(c＞0)的准线l与x轴相交于点A，|OF|＝2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．

(1)求椭圆的方程及离心率；

(2)若，求直线PQ的方程；

(3)设(λ＞1)，过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：由题意，可设椭圆的方程为． 　　由已知得 　　解得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2分) 　　所以椭圆的方程为，离心率．　　　　　　　(4分); 　　(2)解：由(1)可得A(3，0)． 　　设直线PQ的方程为．由方程组 　　 　　得　　　　　　　　　　　　　　(5分) 　　依题意，得．　　　　　　　　(6分) 　　设，则 　　，　　① 　　．　　② 　　由直线PQ的方程得．于是 　　．　　③ 　　∵，∴．　　④　　　　　　　　　　　(7分) 　　由①②③④得，从而．　　　　　　(8分) 　　所以直线PQ的方程为或．　　　　　(9分); 　　(3)证明：．由已知得方程组 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(10分) 　　注意，解得　　　　　　　　　　　　　　　　　(12分) 　　因，故 　　，而，所以．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(14分)