Question

椭圆的中心是原点O，它的短轴长为2

2

，相应于焦点F（c，0）（c＞0）的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若

OP

•

OQ

=0，求直线PQ的方程；
（3）设

AP

=λ

AQ

（λ＞1），过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明

FM

=-λ

FQ

．

Answer 1

分析：（1）由题意，可设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

2

=1(a＞

2

)，列出关于a，b的方程组，解出a，b值，从而求得椭圆的方程及离心率；（2）由（1）可得A（3，0）．设直线PQ的方程为y=k（x-3）．将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量垂直条件即可求得k值，从而解决问题．
（2）先得出向量的坐标

AP

=(x1-3，  y1)，  

AQ

=(x2-3，  y2)．由已知得方程组解得x₂，最后经计算得出

FM

=-λ

FQ

即可．

解答：（1）解：由题意，可设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

2

=1(a＞

2

)．
由已知得

a2-c2=2 c=2( a2 c -c).

解得a=

6

，  c=2
所以椭圆的方程为

x2

6

+

y2

2

=1，离心率e=

6

3

．
（2）解：由（1）可得A（3，0）．
设直线PQ的方程为y=k（x-3）．由方程组

x2 6 + y2 2 =1 y=k(x-3)

得（3k²+1）x²-18k²x+27k²-6=0
依题意△=12（2-3k²）＞0，得-

6

3

＜k＜

6

3

．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=

18k2

3k2+1

，①
x1x2=

27k2-6

3k2+1

．②
由直线PQ的方程得y₁=k（x₁-3），y₂=k（x₂-3）．于是y₁y₂=k²（x₁-3）（x₂-3）=k²[x₁x₂-3（x₁+x₂）+9]．③
∵

OP

•

OQ

=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0．④
由①②③④得5k²=1，从而k=±

5

5

∈(-

6

3

，  

6

3

)．
所以直线PQ的方程为x-

5

y-3=0或x+

5

y-3=0
（3）证明：

AP

=(x1-3，  y1)，  

AQ

=(x2-3，  y2)．
由已知得方程组

x1-3=λ(x2-3) y1=λy2 x 2 1 6 + y 2 1 2 =1 x 2 2 6 + y 2 2 2 =1.

注意λ＞1，解得x2=

5λ-1

2λ

因F（2，0），M（x₁，-y₁），故

FM

=(x1-2，  -y1)=(λ(x2-3)+1，  -y1)=(

1-λ

2

，  -y1)=-λ(

λ-1

2λ

，  y2)．
而

FQ

=(x2-2，  y2)=(

λ-1

2λ

，  y2)，所以

FM

=-λ

FQ

．

点评：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力．