Question

【题目】如图，三棱柱中，侧面为菱形， .

（1）证明： ；

（2）若，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）连接，交于点菱形性质得根据线面垂直判定定理得平面即得结论，（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解各面法向量，根据向量数量积求夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系求二面角的正弦值.

试题解析：（1）证明：连接，交于点，连接，因为侧面为菱形，

所以，且为与的中点， ，∴，

又，所以平面.

故

（2）在中，∵，∴.

结合（1）可知， 三条直线两两垂直，因此，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

在中，∵，∴，

又因为为的中点，所以.

因为，所以为等边三角形，

因为，所以， .

所以， ， ， .

， ，

设是平面的一个法向量，

则，即，所以可取，则.

同理，平面一个法向量

则，所以.