题目内容
某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为
立方米，且l≥2r．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（c＞3）千元．设该容器的建造费用为y千元．（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r．
【答案】分析：（1）由圆柱和球的体积的表达式，得到l和r的关系．再由圆柱和球的表面积公式建立关系式，将表达式中的l用r表示．并注意到写定义域时，利用l≥2r，求出自变量r的范围．
（2）用导数的知识解决，注意到定义域的限制，在区间（0，2]中，极值未必存在，将极值点在区间内和在区间外进行分类讨论．
解答：解：（1）由体积V=
，解得l=
，
∴y=2πrl×3+4πr2×c
=6πr×
+4cπr2
=2π•
，
又l≥2r，即
≥2r，解得0＜r≤2
∴其定义域为（0，2]．
（2）由（1）得，y′=8π（c-2）r-
，
=
，0＜r≤2
由于c＞3，所以c-2＞0
当r3-
=0时，则r=
令
=m，（m＞0）
所以y′=
①当0＜m＜2即c＞
时，
当r=m时，y′=0
当r∈（0，m）时，y′＜0
当r∈（m，2）时，y′＞0
所以r=m是函数y的极小值点，也是最小值点．
②当m≥2即3＜c≤
时，
当r∈（0，2）时，y′＜0，函数单调递减．
所以r=2是函数y的最小值点．
综上所述，当3＜c≤
时，建造费用最小时r=2；
当c＞
时，建造费用最小时r=
点评：利用导数的知识研究函数单调性，函数最值问题是高考经常考查的知识点，同时分类讨论的思想也蕴含在其中．
（2）用导数的知识解决，注意到定义域的限制，在区间（0，2]中，极值未必存在，将极值点在区间内和在区间外进行分类讨论．
解答：解：（1）由体积V=
，解得l=
，∴y=2πrl×3+4πr2×c
=6πr×
+4cπr2=2π•
，又l≥2r，即
≥2r，解得0＜r≤2∴其定义域为（0，2]．
（2）由（1）得，y′=8π（c-2）r-
，=
，0＜r≤2由于c＞3，所以c-2＞0
当r3-
=0时，则r=
令
=m，（m＞0）所以y′=
①当0＜m＜2即c＞
时，当r=m时，y′=0
当r∈（0，m）时，y′＜0
当r∈（m，2）时，y′＞0
所以r=m是函数y的极小值点，也是最小值点．
②当m≥2即3＜c≤
时，当r∈（0，2）时，y′＜0，函数单调递减．
所以r=2是函数y的最小值点．
综上所述，当3＜c≤
时，建造费用最小时r=2；当c＞
时，建造费用最小时r=
点评：利用导数的知识研究函数单调性，函数最值问题是高考经常考查的知识点，同时分类讨论的思想也蕴含在其中．
练习册系列答案
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某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为
立方米，且
．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为
千元，设该容器的建造费用为
千元．
的函数表达式，并求该函数的定义域；
立方米，且
.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为
.设该容器的建造费用为
千元.
的函数表达式，并求该函数的定义域；
立方米，且
.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为
千元.设该容器的建造费用为
千元.
的函数表达式，并求该函数的定义域；
立方米，且
.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为
.设该容器的建造费用为
千元.
的函数表达式，并求该函数的定义域；