题目内容
某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是30+6
| 5 |
30+6
．| 5 |
分析：根据三视图，可得该三棱锥为如图的三棱锥A-BCD，其中底面△BCD中，CD⊥BC，且侧面ABC与底面ABC互相垂直，由此结合题中的数据结合和正余弦定理，不难算出该三棱锥的表面积．
解答：解：
根据题意，还原出如图的三棱锥A-BCD
底面Rt△BCD中，BC⊥CD，且BC=5，CD=4
侧面△ABC中，高AE⊥BC于E，且AE=4，BE=2，CE=3
侧面△ACD中，AC=
=5
∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE⊥BC
∴AE⊥平面BCD，结合CD?平面BCD，得AE⊥CD
∵BC⊥CD，AE∩BC=E
∴CD⊥平面ABC，结合AC?平面ABC，得CD⊥AC
因此，△ADB中，AB=
=2
，BD=
=
，AD=
=
，
∴cos∠ADB=
=
，得sin∠ADB=
=
由三角形面积公式，得S△ADB=
×
×
×
=6
又∵S△ACB=
×5×4=10，S△ADC=S△CBD=
×4×5=10
∴三棱锥的表面积是S表=S△ADB+S△ADC+S△CBD+S△ACB=30+6
故答案为：30+6
根据题意，还原出如图的三棱锥A-BCD底面Rt△BCD中，BC⊥CD，且BC=5，CD=4
侧面△ABC中，高AE⊥BC于E，且AE=4，BE=2，CE=3
侧面△ACD中，AC=
| AE2+CE2 |
∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE⊥BC
∴AE⊥平面BCD，结合CD?平面BCD，得AE⊥CD
∵BC⊥CD，AE∩BC=E
∴CD⊥平面ABC，结合AC?平面ABC，得CD⊥AC
因此，△ADB中，AB=
| 22+42 |
| 5 |
| 52+42 |
| 41 |
| 52+42 |
| 41 |
∴cos∠ADB=
| 41+41-20 | ||||
2×
|
| 31 |
| 41 |
1-(
|
12
| ||
| 41 |
由三角形面积公式，得S△ADB=
| 1 |
| 2 |
| 41 |
| 41 |
12
| ||
| 41 |
| 5 |
又∵S△ACB=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴三棱锥的表面积是S表=S△ADB+S△ADC+S△CBD+S△ACB=30+6
| 5 |
故答案为：30+6
| 5 |
点评：本题给出三棱锥的三视图，求该三棱锥的表面积，着重考查了三视图的理解、线面垂直与面面垂直的判定与性质和利用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．
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