Question

设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线为l．如果以F为圆心，实轴长为半径的圆与l相交，那么双曲线的离心率e的取值范围是

（1，1+

2

）

．

Answer 1

分析：根据题意，双曲线的焦点F到准线的距离小于实轴长，由此建立关于a、b、c的不等关系，结合双曲线中c²=a²+b²和离心率的公式，化简整理即可求出此双曲线的离心率范围．

解答：解：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦点为F（c，0），右准线为l：x=

a2

c

∴F到l的距离为d=c-

a2

c

=

b2

c

∵以F为圆心，实轴长为半径的圆与l相交，
∴F到准线的距离d小于实轴长2a，即

b2

c

＜2a
化简得b²=c²-a²＜2ac，
两边都除以a²，化简得e²-2e-1＜0，解之得1-

2

＜e＜1+

2

∵双曲线的离心率e∈（1，+∞）
∴此双曲线的离心率e∈（1，1+

2

）
故答案为：（1，1+

2

）

点评：本题给出双曲线满足的条件，求双曲线的离心率的范围．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．