Question

【题目】已知点，的两顶点，且点满足

（1）求动点的轨迹方程；

（2）设，求动点的轨迹方程；

（3）过点的动直线与曲线交于不同两点，过点作轴垂线，试判断直线与直线的交点是否恒在一条定直线上？若是，求该定直线的方程，否则，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）两直线，的交点恒落在直线上。

【解析】

（1）设出点的坐标，代入，化简后求得动点的轨迹方程.（2）设出点的坐标，利用向量相等列方程，转化为的坐标，代入（1）中的方程可求得的方程.（3）设出直线的方程，代入的方程，化简后写出韦达定理，写出直线和直线的方程并求出它们的交点坐标，化简后可知两直线，的交点恒落在直线上.

（1）设动点，其中.由得：

（2）设点，由得代入（1）中的方程得：，

即曲线的轨迹方程为.

（3）显然过点的直线不垂直轴，设，同时设，.

由消整理得：.

由韦达定理得：，.

直线.

直线.

联立①②求解交点，消得：.

.

把韦达定理中的及变形式代入上式得：

（与无关）.

故两直线，的交点恒落在直线上.