Question

已知某几何体的三视图如图所示，其中P'，P''，P''分别是该几何体的一个顶点P在三个投影面上的投影，A'，B'，C'，D'分别是另四个顶点A，B，C，D的投影．
（I）从①②两个图中选择出该几何体的直观图；
（II）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（III）设平面PAD与平面ABC的交线为l，求二面角A-l-B的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）观察三视图及两个直观图，易知该几何体对应的直观图是①；
（II）由直观图知，此几何体中有同一点出发的三条两两垂直的射线，故可建立如图的空间坐标系，利用空间向量求线面角，由图知，平面平面PBC的一个法向量易知，求出直线PA的方向向量，由公式计算线面角即可；
（III）由（II）中的空间坐标系，平面PBC的一个法向量已知，设为平面PAD的一个法向量求出，再由公式求出两个二面角的夹角；
解答：解：（I）由三视图知此几何体是一个四棱锥，且侧面PBC⊥底面ABCD，考察两个直观图，图①符合实物图的特征，故①为该几何体的直观图；
（II）依题意，平面PBC⊥底面ABCD，平面PBC∩平面ABC=BC，取BC中点O连接PO，则PO⊥BC，PO⊥底面ABCD，取AD中点M，则OM⊥BC，如图建立空间坐标系O-XYZ，P（0，0，2），A（2，1，0），
又平面PBC的一个法向量为，
∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．…9 分
（Ⅲ）∵D（2，-1，0），，
设为平面PAD的一个法向量，则，取
 
∴二面角A-l-B的大小为45°．…13分
点评：本题考查与二面角有关的立体几何证明题，解题的关键是熟练掌握二面角的平面角的做法以及用向量法求二面角的步骤，向量中的方程与立体几何中位置关系的对应，如数量积为0与垂直的对应，向量的共线与平行的对应，向量夹角与线线角，线面角，面面角的对应，本题考查了数形结合的思想，转化的思想，方程的思想，考查了待定系数建立方程的技巧，用向量解决立体几何问题的方法，本题知识性综合性强，考查空间想像能力，推理判断能力及转化的能力